Uyuyan güzel problemi: Uyanılan günü bilme olasılığı!

Uyuyan Güzel Problemi çıkan farklı sonuçlardan dolayı matematikçilerin kafasını hayli karıştırmış. 100 aşkın deneyde ortaya çıkan sonuçlar ise birbirinden hayli uyumsuz...

Temelde bir olasılık sorusu olan problemi açıklığa kavuşturmak için araştırmacılar uyuyan güzel dedikleri bir deney  kapsamında, uyutulan kişiye pazar günü bir uyku ilacı veriliyor ve uykuya dalması sağlanıyor.

Deney hakkında önceden bilgi sahibi olan denek uyutulur. Çalışmayı yürütenler yazı tura atar ve tura gelirse; pazartesi günü, uyuyan kişiyi uyandırırlar. Ve bu kişiye paranın tura gelme ihtimalini sorarlar. Ancak yazı gelirse de pazartesi günü bu kişiyi uyandırırlar.

Daha sonra bu kişiye başka bir uyku hapı vererek tekrar uyumasını sağlarlar. Salı günü tekrar uyandırılan bu kişiye soruyu bir kez daha sorarlar. Deney bu şekilde sona erer. Bu süreçte uyuyan kişi, uyku ilacının etkisiyle daha önce uyandırılıp uyandırılmadığını ayırt edemez.

Siz de kendinizi bu kişinin yerine koyun:

Böyle bir deneye tabi tutulduğunuzu ve deney kapsamında size bazı sorular sorulacağını biliyorsunuz. 

Ancak uyandığınızda hangi gün olduğunu ya da daha önce uyandırılıp uyandırılmadığınızı bilmiyorsunuz. Sezgisel olarak verilecek cevap genellikle 1/2 olacaktır. Çünkü madenî parayla atılan yazı turada tura gelme olasılığı her durumda 1/2'dir.

Uyuyan kişi uyandığında, günün pazartesi ya da salı olup olmadığını bilemez; ancak madenî paranın durumu bu gerçeği etkilemez. Hangi gün uyanırsa uyansın, sonuç her zaman aynı olacaktır.

Bu problemi düşündüğümüzde, üç farklı senaryo ortaya çıkıyor. Pazartesi günü tura geldiğinde uyandırılacak, aynı şekilde pazartesi günü yazı geldiğinde yine uyandırılacak ve salı günü yazı geldiği zaman da uyandırılacaktır.

Peki, uyanılan günü bilme olasılıkları nelerdir?

Koşullu olasılıklar hesaplamasına göre üç durum da eşittir. Bunu bilim felsefecisi Adam Elga'nın formülü ile açıklamak istiyoruz: Bugün pazartesi (M) olsun. P de olasılık anlamına geliyor.

Pazartesi/tura (M, T) ve pazartesi/yazı (M, Y) durumları için olasılıklar tartışmasız eşittir: P (M, T) = P (M, Y) = 1/2. Aynı şekilde, uyuyan kişi uyanıp yazı geldiğini öğrenirse, o gün pazartesi veya salı olmalıdır. Bu durumda da P (M, Y) = P (T, Y) = 1/2 olur. Bu eşitlikleri birleştirirsek geçişme özelliği sayesinde P (M, Y) = P(M, T) = P(T, Y) üçlü eşitliğini elde ederiz. Toplam olasılıkların 1 olduğu göz önüne alındığında, her bir değer 1/3'tür.

Cevabın 1/2 olduğunu savunanlar, deney sayısını temel alırken 1/3 diyenler uyuyan kişinin uyanma sayısını göz önüne alıyor.

1/2'yi savunanlar, deneyi yapanın bakış açısından yaklaşırken 1/3'ü savunanlar ise uyuyan kişinin bakış açısından hesaplamalar yapıyor.

Yani matematik, her zaman nesnel cevaplar vermiyor.

Vereceğiniz cevap biraz da sizin duygularınızla, ön yargılarınızla ilgili olabiliyor.